2)通信领域中的 Hilbert 变换

实信号的双边频谱是对称的。如果它的单边频带宽 W,考虑到负频率成分,实际占的频谱区域就是±W,所以通信中要传输这样的信号就需要占用 2W的频带宽度。为了节省频带,人们就发明了 Hilbert 变换,它可以把信号的正频率频谱移相-90°,把负频率频谱移相90°,然后再将这个信号移相90°与原信号相加,使两者的负频率成分互相抵消,正频率成分加倍,构成一个没有负频率频谱的复信号,(如同上面所说的二相异步电机那样)。这个复信号的带宽就只占 W 了。用这个方法,使频带节约了一半。在这里,可以看到负频率成分的重要性,在传送信号时。

它是不可或缺的部分。另外,也看到负频率成分与复信号的密切关系。


3)产生任意的平面运动轨迹

文献[5]曾提出根据傅立叶反变换原理产生平面运动轨迹的方法。从上面欧拉公式的几何意义不难得知,傅立叶反变换公式其实表示了多个频谱旋转向量的合成,这些向量的频率规定了它信号的实部,在 y轴上的投影是信号的虚部。

不难设计出一个程序来演示这个过程,在[2,3]中编写了一个MATLAB 程序,程序名为 exn941。它把四个集总频谱合成起来。假如给出这些频谱分量如下:

a(1) = 1, ω(1) = 1; a(2) = 1, ω(2) = -1; a(3) = 0.5,ω(3) = 3;a(4) = 0.5,ω(4) = -4;

在此处,为了显示复信号,有意把输入频谱设成不对称的,见图5(d)。于是读者将看到四节杆的运动动画,并得到杆系及其末端在复平面上的轨迹(图4),改变了比例尺后为图 5 (a)。将它在x,y两方向的投影与时间轴的关系画在图5(b)和(c)中,就得到信号与系统课程中常见的实信号曲线。

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输入频谱的幅度可以是负数,也可以是虚数,甚至可以是复数,它不仅反映了频谱的大小,还反映了该向量的起始相位;频谱的频率则只能是有正负号的实数,正频率和负频率以及在该频率上频谱的意义在此不言自明。读者可以做各种各样的试验。例如当两组频率具有倍频关系时,得到的是周期信号,如果频率比是无理数,那将得出非周期的信号;另外,这样的演示只适用于集总频谱,对于分布的频谱密度,就要把它想象为若干小的集总频谱的叠合。

总之有了这样的形象演示,可以大大扩展时域信号与频域谱之间关系的思维空间。

4)多普勒频率

多普勒频率又是一个负频率的实例,如果信号的发射源向我们运动而来,那么多普勒频率就是正频率;如果信号的发射源向我们远离而去,那么多普勒频率就是负频率,在这里正负频率都是有明确物理意义的。多普勒频率虽是一种差频,它表现为合成信号的包络频率,因此仍然符合上述的原理,在实信号域只能求出多普勒频率的大小,但检测不出它的正负。要得到负频率,必须从复信号域考虑。可见,不懂得这一点,就无法找到多普勒测速的原理框图。

5)机械工程领域的应用

关于二维信号的傅立叶变换,国内早已有学者将其应用于工程领域,参见文献[4]、 [5]。这些都是说明频谱中负频率物理意义的实际例证。

4.在对负频率认识中存在的问题

频谱中负频率成分的物理意义往往不为某些人们理解,其主要原因是他们忘记了实信号平面内研究问题的局限性。因为在信号与系统课程中研究的信号通常只限于实信号。从实信号的x-t的波形图上根本看不出频率的转向和正负,频率只能表现为每秒信号重复的次数。分不清正负就以为是正频率,只是一种习惯性的思维方法而已。

归根到底,转角和频率的正负,必须在x-y平面或二维信号中才能观察到。因为观察的方法不对,看不到其意义,从而否认它的存在,这是认识论上的错误,不是科学的方法。这就和“瞎子摸象”的故事所说的那样,摸象腿的人否认象有鼻子,毛病出在他的验证方法。他老想在象腿(实信号域)上找到象鼻子(负频率),当然也永远找不到。正确的方法是必须换一个角度,摸别的部位(复信号域),才能得到全面的知识。

某些学者不承认负频率是由于把“频率是每秒钟循环的次数”的陈旧概念绝对化,其实频率的概念是不断发展充实的。每秒次数的概念只能粗糙地研究信号外部形态,无法涉及信号每周期内部的细微波形特征,而这恰好是傅立叶变换的任务。从它的核已经可以清楚地看到,正是它摒弃(或发展)了原始的频率定义,采用了角频率的概念。单位是弧度/秒,而且具有明确的方向和正负号。其实频率的概念还在继续发展,进入到数字信号处理时又进一步出现了数字频率,它的单位是弧度(去掉了分母上的“秒”),取值范围是[-π,π]。它的物理意义已变为两次采样时刻之间向量转过的角度,在文献[1]中对此有详细的说明。如果停留在“每秒次数”的旧概念上,那“数字信号处理”也就无法发展了。

5.从认识论角度纠正对负频率的错误说法

这个问题是从教学中提出的,作者在旁听“信号与系统”课程时,在老师的幻灯片上看到了 “关于双边谱,负频率只有数学意义,没有物理意义”的提法。我们觉得这是个错误,而且恐怕不是个别老师的想法。回来一查,果然如此,很多相当权威的主流教材上都这么写。

其实,“×××只有数学意义,没有物理意义”这样的“命题”谁也没有证明过,也是无法证明的,它最多只能算是猜想。只要有一个反例就可被推翻,本文已经举出了多个反例,说明它是完全错误的。教师绝不该把错误的猜想说成真理,更不能写在书上和幻灯片上去误导学生。数学是更抽象、更深刻地描述物理现象的工具,而物理是实证的科学。限于条件,人们往往暂时还认识不到数学定理的物理意义。数学超前物理是科学史上多次出现的现象,比如虚数、非欧氏几何等。这时应该努力去理解它,认识它,而不是轻易地放弃它、否定它。自己没想通,没找到的事物,不能说它不存在。给学生讲课时,只能说“我们目前还没有想通×××的物理意义”。这才能表明教师在科学上的严肃和谦逊,也有助于培养学生的科学钻研和创新精神。

6.结束语

讨论这个问题,不仅是理论上的探讨,对于提高教学质量是有重大意义的。今天,信息技术如此的发展,很大程度是由于深入大量地开发频谱资源的结果。在同学刚进入这个资源库的时候,我们要引导他们对这个宝藏发生极大的兴趣,非常珍惜这个宝藏,去深钻,去挖掘它的每一点潜力。不能为了省事,为了堵住学生的好奇提问,轻率地、毫无根据地一句话就把频谱的负频率半边扔掉了。在入门的时候,当然不可能把本文说的概念统统灌输给学生,要顺序渐进。但老师首先要有更宽广的知识面和更科学的思维方法,教出的学生的才会具备更多的想象力和创造性。