带大家读麦克斯韦方程组

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一,Maxwell Equation 简介
 

麦克斯韦方程是一组描述电磁学世界的4个复杂方程。这些方程描述了电场和磁场如何传播、相互作用,以及它们如何受到物体的影响。

麦克斯韦

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦(James Clerk Maxwell)[1831-1879]是爱因斯坦/牛顿级别的天才,他采用了一组已知的实验定律(法拉第定律、安培定律),并将它们统一成一组对称的相干方程,称为麦克斯韦方程。麦克斯韦是最早确定电磁波传播速度与光速相同的人之一,因此得出结论:电磁波和可见光实际上是同一回事。

麦克斯韦方程是理解天线和电磁学的关键。它们看起来非常复杂,以至于大多数电子工程师和物理学家都不知道它们的真正含义。被复杂的数学所笼罩(人们在讨论这些问题时可能会觉得自己很聪明),很难真正理解这些方程。

麦克斯韦方程

如果可能的话,我将避免出现数学困难,而是描述方程的含义。别害怕,数学太复杂了,那些真正理解复杂向量演算的人,除了最简单的情况外,仍然无法应用麦克斯韦方程。因此,麦克斯韦方程的直观知识远远优于基于数学操作的知识。要了解这个世界,你必须了解方程的含义,而不仅仅是了解数学结构。我相信教授电磁学和麦克斯韦方程的公认方法不能产生理解。接下来,我们来谈谈这些方程。
麦克斯韦方程是定律,就像重力定律一样。这些方程是宇宙用来控制电场和磁场行为的规则。电流的流动会产生磁场。如果电流随时间变化(如在任何波或周期信号中),磁场也会产生电场。麦克斯韦方程表明,分离电荷(正电荷和负电荷)会产生一个电场——如果这个电场在时间上发生变化,也会产生一个传播电场,进而产生一个支撑磁场。

支撑磁场

要比大多数工程学或物理学博士更直观地理解麦克斯韦方程,请点击上面的链接和定义。你会发现复杂的数学掩盖了这些方程内在的优雅——你会了解宇宙是如何操作电磁机器的。
 
二,Maxwell Equation 的数学基础
 
2.1 散度和散度算子
这个散度算子就是上图 麦克斯韦方程组中的那个倒三角和点组成的符号

散度

文章尽可能的不用数学方法去描述这个散度算子:
首先散度的定义即是:点(x,y,z)处的散度是该点周围曲面的矢量流的度量。也就是说,假设一个向量场代表水流。如果散度是一个正数,这意味着水从这个点流出(就像一个水嘴-这个位置被认为是一个源头)。如果散度是一个负数,那么水就流入这个点(就像一个排水沟-这个位置被称为水槽)。
我将举一些例子来说明这一点。首先,假设我们有一个向量场(由向量函数a给出),如图1所示,我们想知道P点的散度是多少:

向量场

 
我们还画了一个围绕点P的假想表面。现在想象向量A代表水流。那么,如果你把从地表流出的水量加起来,这个量会是正数吗?答案是肯定的:水在S表面的每个位置都从表面流出。因此,我们可以说P的散度是正的。
再举一个简单的例子,如图2所示。我们在点P周围有一个新的向量场B:

向量场B

在图2中,如果我们想象水的流动,我们会看到P点像一个排水沟或水槽。在这种情况下,流出表面的气流是负的,因此,P处的场B的散度是负的。
很简单,嗯?这里还有几个例子。图3在点周围有一个向量场C:

向量场C

在图3中,如果C表示水的流量,那么更多的水是流入还是流出地表?在图3的顶部,水从表面流出,但在底部流入。由于场进出表面的流量相等,散度为零。
鉴于您可能玩得很开心,让我们再举两个例子。查看图4:

向量场D

在图4中,我们有一个绕着点P的向量场D。流是正的(流出表面)还是负的(流入表面)?在沿曲面S的每个点处,场沿曲面切向流动。因此,场不是在每个点流入或流出表面。因此,在P处,我们得到D的散度等于0。
让我们看最后一个例子,图5中的字段E:

向量场E

向量场E在P点上方有一个大向量,表示那里有一个很强的场,很多水从表面流出。P左边的向量很小,与曲面相切,因此在该点没有流入或流出S的流。P右边的向量也是如此,P下面的向量很小,表示流入地表的水量较小。因此,我们可以猜测散度是正的-流出地表的水比流入地表的水多。
当然如果你的数学比较好的话,请点击阅读原文查看散度的数学定义。小木匠比较懒,不再对数学定义做更多学习。

2.2 旋度和旋度算子
这个旋度算子就是麦克斯韦方程组中式3和式4用到的那个倒三角和x的组合:

旋度

旋度是向量场旋转的量度。为了理解这一点,我们将再次使用流动水的类比来表示向量函数(或向量场)。在图1中,我们有一个向量函数(V),我们想知道场是否在D点旋转(也就是说,我们想知道旋度是否为零)。

向量函数

若要确定场是否旋转,请假设D点处有一个水轮。如果表示水流的矢量场会旋转水轮,则旋度不为零:

矢量场

在上图中,我们可以看到水轮将顺时针旋转。因此,这个向量场在点D处有一个旋度。
我们现在必须使事情更复杂。图2的旋度是正的还是负的,方向是什么?因为我们观察的是在x-y平面上旋转水车的旋度,所以旋度的方向被认为是z轴(垂直于水车的平面)。此外,卷曲遵循右手法则:如果你的拇指指向+z方向,那么你的右手将沿着正卷曲的方向绕轴卷曲。对于图2,如果水轮以逆时针方向旋转,则旋度为正。如果水车顺时针旋转,旋度将为负值。
在上图中,水轮顺时针旋转。因此,图1中向量场旋度的z分量为负。
你可以想象,旋度也有x和y分量。因此,旋度作用于向量场,结果是三维向量。也就是说,如果我们知道一个向量场,我们就可以计算任意点的旋度,结果就是一个向量(表示x、y和z方向)。

再举一个新的例子。假设图3中的向量场F具有z向场。让+z方向的向量符号表示+z方向的向量,-z方向的向量符号表示-z方向的向量:

向量场F具有z向场

如果水在轮子周围上下流动,轮子会旋转吗?答案是否定的。当轮子在x-y平面上时,只有x和y方向的向量可以使轮子旋转。因此,可以忽略z向向量场来确定旋度的z分量。
现在,让我们举更多的例子来确保我们理解旋度。关于下图中G点处向量场J的旋度,我们能说些什么?

向量场F

 
图4中的旋度是正、负还是零?它朝什么方向?首先,由于水车在y-z平面上,旋度的方向(如果不是零)将沿x轴。现在,我们想知道旋度是正的(逆时针旋转)还是负的(顺时针旋转)。
上图中的红色向量在+y方向。但是,它不会旋转水轮,因为它直接指向水轮的中心,不会产生旋转。图4中的绿色向量将尝试沿顺时针方向旋转水轮机,而黑色向量将尝试沿逆时针方向旋转水轮机,因此绿色向量和黑色向量抵消,不产生旋转。但是,棕色矢量将逆时针方向旋转水轮。因此,图4中所有矢量的净效应是逆时针旋转。结果是图4中的旋度是正的,并且在+x方向上。
一般来说,向量场有[x,y,z]个分量。得到的旋度也是一个包含[x,y,z]分量的向量。用水车在三个方向上画三维场是很困难的,但是如果你理解上面的例子,你可以把上面的二维思想推广到三维。现在我们将给出旋度的完整数学定义。
剩下的加减乘除偏微分,就不用小木匠一一叙述了吧
那么下面来看麦克斯韦方程的组成和意义
 
三,Maxwell Equation 的组成
 
下面公式式麦克斯韦方程组的微分形式,详细介绍在长尾的文章内有。我们这边先以小木匠学习的这篇英文文档说起。

Maxwell Equation

式1 高斯电定律

高斯定律是麦克斯韦方程的第一个,它决定了电场在电荷周围的行为。高斯定律可以用电通量密度和电荷密度写成:

高斯电定律

这个就用到了散度算子,大家还不理解的话还可以回到上文再学习。
小木匠提示一下:散度就是点(x,y,z)处的散度是该点周围曲面的矢量流的度量。
方程[1]以点的形式称为高斯定律。也就是说,方程[1]在空间的任何一点都是正确的。也就是说,如果某个地方存在电荷,那么该点的D的散度是非零的,否则等于零。
为了更直观地了解高斯定律,让我们看一下积分形式的高斯定律。为此,我们假设某个任意卷(我们称之为V)有一个边界(写为S)。然后在体积V上积分方程[1]得到积分形式的高斯定律:

积分形式的高斯定律

我可能说得不太清楚,但让我们很快来看看。以图1为例。我们有一个体积V,就是立方体。曲面S是立方体的边界(即构成体积边界的6个平面)。

立方体

方程[2]指出,体积V(=封闭电荷)内的电荷量等于从表面S流出的总磁通量(D)。也就是说,要确定离开区域V的磁通量,我们只需要知道体积内有多少电荷。我们用方程[3]中定义的更多项重写方程[2]:

EQ3

 

 

上图中的立方体示例可能有助于说明这一点。看看图2中的P点,我们已经画出了D场向量:

立方体D场向量

我们可以根据切向分量和法向分量重写任何字段,如图2所示。从方程[3]中,我们只对D法向(正交或垂直)到曲面S的分量感兴趣,我们把它写成Dn。切向分量Dt沿表面流动。如果你把D场想象成水的流动,那么只有成分Dn会对水有贡献,实际上离开体积Dt只是水绕着表面流动。
因此,高斯定律是一个数学陈述,即任何体积的总电流等于内部的总电荷。因此,如果所讨论的体积内没有电荷,则流出该区域的净电流为零。如果在一个体积内有正电荷,那么在电荷周围的任何体积中都存在正数量的电流。如果一个体积内有负电荷,则存在一个负数量的电通量(即电通量进入该体积)。
这有什么关系?高斯定律指出电荷是电场的源或汇。
如果你再次使用水的类比,正电荷会导致一个体积的水流出,这意味着正电荷就像一个水源(一个水龙头——把水抽到一个区域)。相反,负电荷会导致流入一个体积——这意味着负电荷就像一个水槽(磁场流入一个区域并在电荷上终止)。
这给了我们很多关于场在任何场景中的物理行为的直觉。例如,对于电场,这里有可能也有不可能的情况,这是由宇宙在高斯定律中决定的:

宇宙在高斯定律中决定1

宇宙在高斯定律中决定2

宇宙在高斯定律中决定3

如果你观察到D场在电荷周围的行为方式,你可能会注意到高斯定律相当于电荷的力方程,这就产生了点电荷的E场方程:

点电荷的E场方程

方程[4]表明电荷对它们施加力,这意味着存在着远离正电荷和朝向负电荷的电场。这意味着反电荷吸引负电荷排斥。由于D和E与介电常数有关,我们发现高斯定律是电荷力方程的一个更为形式化的表述。
总之,高斯定律意味着以下情况是正确的:
D和E磁力线偏离正电荷
D和E场线向负电荷方向发散
D、E场线带电起停
 
反电荷吸引负电荷排斥
 

D场在空间任意区域(体积)上的发散量,正好等于该区域中的电荷净额。

式2 高斯磁定律

不得不佩服高斯的niubility,麦克斯韦方程组,高斯提供了两个重要公式。

两个重要公式

那么我们接着来讲一下公式2,高斯磁定律
你可以看到这两个方程都指定了所讨论的场的散度。对于top方程,我们知道电场的高斯定律表明,磁通密度D的散度等于体积电荷密度。而第二个方程,高斯磁定律表明磁通密度(B)的散度为零。
为什么?为什么B的散度不等于磁荷密度?
嗯-是的。但碰巧没有人发现过磁电荷,不是在实验室里,街上或地铁里。因此,在找到这个假设的磁荷之前,我们将磁场的高斯定律的右边设为零:

高斯磁定律

由于B和磁场H与磁导率有关,我们在方程[2]中注意到磁场的散度也是零。
现在,你小时候可能玩过磁铁,这些磁性物体吸引了其他磁铁,就像电荷排斥或吸引电荷一样。然而,这些磁铁有一些特别之处——它们总是有一个积极和消极的结局。这意味着每个磁性物体都是一个磁偶极子,有一个南北极。不管你把磁场分成两半多少次,它只会形成更多的磁偶极子。高斯磁定律指出磁单极子不存在,或者至少我们还没有找到它们。
因为我们知道磁通密度的散度总是零,所以我们现在对这些磁场的行为有了一点了解。我将举几个合法和非法磁场的例子,这是高斯定律对磁场的结果:

斯定律对磁场的结果

总之,麦克斯韦方程组的第二个——高斯磁性定律——意味着:
磁单极不存在
在任何体积中,B或H场的散度总是为零
离开磁偶极子,磁场在一个闭环中流动。这是真的,即使是平面波,恰好有一个无限半径的环。
这就是磁场的高斯定律。如果你理解高斯电场定律,这不是很复杂。
 

式3 法拉第定律

终于轮到天才法拉第出场了,目前比较火的号线式贾忽悠的法拉第未来,有损法拉第的英明。此罪当煮。

直接贴公式法拉第电磁感应定律:

法拉第电磁感应定律

法拉第是一位科学家,早在19世纪30年代就开始试验电路和磁线圈。他的实验装置导致了法拉第定律,如图1所示:

实验装置导致了法拉第定律

实验本身有点简单。当电池断开时,我们没有电流流过电线。因此,铁(磁芯)内没有感应磁通量。铁就像一条通向磁场的高速公路——它们很容易流过磁性物质。所以磁芯的作用是为磁通量创造一条路径。
当开关闭合时,电流将在连接到蓄电池的导线内流动。当电流流动时,它有一个相关的磁场(或磁通量)。当导线缠绕在磁芯的左侧(如图1所示)时,磁芯内会产生磁场(磁通量)。这种磁通量绕着磁芯移动。所以左边的接线线圈产生的磁通量存在于右边的接线线圈中,它与电流表相连。
现在,一件有趣的事情发生了,法拉第观察到了。当他关闭开关时,电流会开始流动,电流表会单向尖峰(比如测量另一侧的+10安培)。但这是非常短暂的,右边线圈上的电流将归零。当开关断开时,测量的电流会向另一侧尖峰(比如说,将测量-10安培),然后右侧的测量电流将再次为零。
法拉第知道发生了什么。当开关最初从开到关时,磁芯内的磁通量从零增加到某个最大值(这是一个恒定值,随时间变化)。当磁通量增加时,在磁通的另一侧存在感应电流。
同样,当开关打开时,磁芯中的磁通量也会从它的恒定值减小到零。因此,磁芯内的磁通量减少会在右侧产生相反的电流。
法拉第发现,电路(或导线的闭环)内的磁通量变化会产生感应电动势或电路内的电压。他这样写道:

磁通量变化会产生感应电动势或电路内的电压

在方程[2]中,磁通量是电路内的磁通量,而电动势是电动力,基本上是电压源。方程[2]表明电路中的感应电压与磁通量的时间变化率相反。有关衍生工具的详细信息,请参阅“部分衍生工具”页。
方程[2]被称为Lenz定律。伦兹是找出负号的人。我们知道电流会产生磁场,但多亏了法拉第,我们也知道回路中的磁场会产生电流。宇宙喜欢对称性,麦克斯韦方程有很多对称性。

现在,我们得到了方程[2]的实验结果,我们如何从这个结果到方程[1]中法迪定律的标准形式?很高兴你问我。让我们想象一个简单的循环,其中有一个时变的B字段:

简单的循环

我们知道,总磁通量的变化率等于电动势的反方向,即导线内的电力。总磁通量只是导线所包围区域上B场的积分(或和):

总磁通量只是导线所包围区域上B场的积分

为了求出整个电路周围感应的总电动势,我们把每一点产生的电动势加在电线的长度上。这就是所谓的线积分。本文写成:

线积分

现在,回想一下,电场与电荷产生的力直接相关。电压也被定义为路径上电场的总和(积分)[回想一下,电场是以伏特/米为单位测量的]。因此,电场实际上是电压的空间导数(电场等于电压相对于距离的变化率)。这些事实总结如下:

电场实际上是电压的空间导数

因此,方程[4]和[5]告诉我们,沿着电路的任何点(在[4]中为dEMF)的EMF微分量等于该位置的E场。因此:

沿着电路的任何点的EMF微分量等于该位置的E场

现在,一些数学家Stokes发现,在一个环上积分(平均)一个场就等于在环内积分这个场的旋度。这对你来说应该有一个直观的事实:旋度是场旋转的量度,因此曲面内向量场的旋度应该与围绕曲面的环的场的积分有关。如果没有意义,请多想想,或者接受以下事实(因为它是真的——不仅是E字段,而且是任何字段):

接受事实

现在我们就快到了。如果我们用方程[3]和方程[7]中的项替换方程[2]的Farday定律,那么我们得到:

方程[3]和方程[7]中的项替换方程[2]的Farday定律接受事实

在方程[8]中,我们注意到如果我们在曲面上有两个积分,并且曲面可以是我们选择的,那么我们积分的量也必须是相同的。这就是我们如何得到法拉第定律的最终形式,如麦克斯韦方程所列!
法拉第定律表明,回路中磁场的变化会产生感应电流,感应电流是由回路中的力或电压引起的。我们可以这样说法拉第定律:
电流产生磁场。电路周围的磁场产生电流。
磁场随着时间的变化会产生一个围绕它循环的电场。
随着时间的推移,一个循环的电场会产生一个随时间变化的磁场。

法迪定律是非常强大的,因为它显示了宇宙是多么热爱对称。如果电流产生磁场,磁场就会产生电流。空间中的E场的变化会导致时间上的B场的变化。当我们继续看麦克斯韦方程的最后一个,安培定律,我们会看到更多的对称性!
式4 安培定律


 

安培定律

安培是一位科学家,他在试验载电流的电线上的力。早在19世纪20年代,他就在做这些实验,几乎和法迪研究法拉第定律的时间一样。安培和法迪不知道,大约40年后,麦克斯韦自己会把工作统一起来。
电线上的力量对我来说不是特别有趣,因为在我的工作过程中,我从来没有机会使用非常复杂的方程式(包括博士学位,在国家实验室的一些工作,以及国防和消费电子行业的就业)。所以,我将首先介绍安培定律,它涉及电流和围绕它的磁场:

电流和围绕它的磁场

方程[2]可以解释为:假设有一个导体(导线)携带电流,那么这个电流产生一个绕导线旋转的磁场。
方程[2]的左边是指:如果你沿着环绕导线的任何一条假想路径,把沿着该路径的每一点的磁场相加,那么它将在数值上等于被该路径环绕的电流量(这就是为什么我们把环绕电流写为环绕电流或环绕电流的原因)。
让我们做一个有趣的例子。假设我们有一根长电线,它承载着恒定的电流,I[安培]。距离导线任意距离r[米]时,导线周围的磁场是多少?
让我们看看图1中的图表。我们有一根载电流为安培的长电线。我们想知道在距离导线r的地方磁场是多少。所以我们在电线周围画了一条假想的路径,这是图1右边的蓝色虚线:
安培定律的例子

安培定律的例子

安培定律[方程式2]指出,如果我们沿着这条蓝色路径把磁场加起来(积分),那么在数值上这应该等于封闭电流I。
现在,由于对称性,磁场在距离导线r处是均匀的(不是变化的)。图1中蓝色路径的路径长度等于半径r的圆的周长。
如果我们把磁场的一个常数相加(我们称之为H),那么方程[2]的左边就变得简单了:

方程2

因此,我们已经知道了H场的大小。既然r是任意的,我们知道H场在哪里。方程[3]指出,当你远离导线时(由于1/r项),磁场的大小会减小。
所以我们用安培定律(方程式[2])来计算绕着电线的磁场的大小。然而,H场是向量场,这意味着在每个位置is都有一个量值和一个方向。H场的方向与虚环相切,如图2所示。右手法则决定磁场的方向:

右手法则决定磁场的方向

我们要用斯托克定理做同样的技巧,就像我们在看法拉第定律时做的一样。我们可以重写方程式[2]中的安培定律:

重写方程式[2]中的安培定律

在方程[4]的右边等式中,我们利用Stokes定理将一个闭合环周围的线积分,通过环所包围的曲面,转化为同一场的旋度。

我们还可以将总电流(I)重写为电流密度(J)的表面积分:

表面积分

现在我们用表面积分(方程[4]和[5])重写了原来的安培定律(方程[2])。因此,我们可以把它们放在一起,得到安培定律的一种新形式:

表面积分(方程[4]和[5])重写了原来的安培定律(方程[2]

现在,我们有了一种新的安培定律:磁场的旋度等于电流密度。如果你是一个聪明的学习者,你可能会注意到方程式[6]不是最后的形式,它是写在方程式[1]中的。方程[6]有一个问题,但直到19世纪60年代,詹姆斯·克拉克·麦克斯韦才发现这个问题,并把电磁学与麦克斯韦方程统一起来。
至此,麦克斯韦方程全部讲完,不知道小伙伴们对麦克斯韦方程组有没有加深印象。没有的话,继续往下看:
全文最精彩部分就是下面...
 
四,简明扼要说Maxwell Equation

Maxwell Equation

 
到目前为止,我已经单独讨论了麦克斯韦方程。在这一页上,我想再次给出他们的概述-没有数学-并解释他们作为一个整体的含义。
4.1高斯定律
高斯定律等价于电荷的力方程:相似电荷相互排斥,相反电荷(正电荷和负电荷)相互吸引。
高斯定律还说电场线偏离电荷。这意味着正电荷是电场的来源(就像水龙头是水源一样)。高斯定律是指负电荷作为电场的水槽(水通过水槽孔排出或离开一个区域的方式)。这意味着电场线在充电时开始和停止。
4.2磁学高斯定律
麦克斯韦的第二个方程表示磁单极子不存在。当我们有电荷(电单极子)时,我们从未发现磁等价物——磁电荷或磁单极子。这个方程表明磁场倾向于环绕物体,因为散度为零,磁场倾向于形成闭合环。
4.3法拉第定律
法拉第定律告诉我们,随着时间变化的磁场会产生一个循环的电子场。这意味着我们有两种产生电场的方法——从电荷(或流动电荷、电流)或从正在变化的磁场。
4.4安培定律
安培定律告诉我们,流动的电流产生一个绕着电线的磁场。除此之外,它还说随着时间变化的电场会产生一个围绕着电场的磁场——这是麦克斯韦自己提出的位移电流项。
这意味着有两种方法可以产生一个螺线管(循环)H-场-一个流动的电流或一个变化的电场。两者都会产生同样的现象。
总的来说,麦克斯韦方程是什么意思?
前两种主要用于直流电,即当所有电压和电流都是恒定的,且没有随时间变化的情况下。这些在我看来不太重要,事实上,它们可以从第二组方程中导出。因此,这是后两个版本的一个较弱的版本。
第三和第四个方程确实规定了电场和磁场的规则。例如,在一种被称为时域有限差分法(FDTD)的电磁学解算器中,只有后两个方程用于E场和H场的数值求解。前两个不需要。
让我们来看看第三和第四个方程,这两个简洁的陈述支配了所有的E场和H场传播:
法拉第定律说,变化的磁场产生一个旋转的电场。现在,宇宙中的事物不会持续增长或持续收缩——它们会振荡(以平均值上下移动)。这意味着磁场先增大后减小,这意味着电场在一个不断变化的磁场周围来回缠绕。这意味着电场也在随时间变化。
现在看看安培定律。这意味着一个变化的电场会产生一个旋转的磁场。同样地,电场也会在时间上振荡,环绕磁场也会在时间上变化。
让我们想想最后两段。不断变化的磁场产生不断变化的电场。而不断变化的电场会产生不断变化的磁场——磁场本身会产生不断变化的电场,从而产生。。。。。
这是什么?这种现象称为传播。这就是电磁波传播的原因。这是一个永恒的运动轮,它使太阳光在真空中传播,而不需要任何介质。从这两个方程中我们可以确定所有传播的波都以单一的速度传播,即光速。这个速度可以直接由麦克斯韦方程中的常数决定。
每一种电磁形式或辐射——可见光、x射线、加热地球的太阳光、无线电波、电视波、wifi信号、蓝牙信号、手机传输和GPS——都完全由电场和磁场组成。你所需要知道的关于它们如何传播和与物质相互作用的一切,都完全由上述两个方程决定,这两个方程在19世纪60年代由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦统一解释。
让我们记住这个人詹姆斯·克拉克·麦克斯韦

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