频率的定义是在单位时间内完成周期性运动的次数。但是对于非周期性振动（如音乐、琴弦振动和股票行情），我们如何感知其中的高音和低音呢？让我们来探讨一下。
在1582年，意大利科学家伽利略在比萨的教堂观察到一个现象：吊灯受到触碰会产生小幅摆动，而每次摆动所花费的时间几乎相等。这个发现被称为“摆的等时性原理”。此后，荷兰科学家惠更斯运用这个原理发明了摆钟，推动了钟表技术的发展。
人们发现，钟摆的运动可以用三角函数来描述。图中的T表示三角函数的周期：无论从何刻起，每经过T时间，钟摆位置就会重复。三角函数的频率等于周期的倒数，即1/T。如果一个三角函数的周期T为1毫秒，那么它每秒将完成1000次周期性运动，其频率为1000次，单位为赫兹（Hz）。机械钟摆通常具有1至5 Hz之间的频率，具体取决于品牌和型号。
然而，并不仅限于三角函数具有完美的频率特性。那么对于一般函数，我们如何定义其频率呢？比如音乐信号、琴弦振动函数和股市行情曲线。
在18世纪初，科学家们在研究“弦振动”时遇到了类似的问题：“任意函数能否表示为三角函数之和？”直到19世纪初，法国科学家傅立叶通过对热传导方程的研究，首次以相对严格的数学推导解决了这个问题。
让我们用一个例子来说明傅立叶的理论。考虑下面这个周期性的矩形函数：
初看起来，它的形状与光滑的三角函数并不相似。但是我们尝试将两个三角函数相加（为了绘图方便，仅展示部分函数）：
哇！两个三角函数相加后，结果有点像矩形函数。
当我们追加第四个三角函数时，叠加结果已经非常接近矩形函数。
周期函数通常包含多个频率，而简谐信号是单频信号。一般周期信号由无限多个离散的频率组成，其中最低频率对信号的贡献最大，因此被定义为一般周期信号的频率。
在傅里叶理论的发展中，瑞士科学家欧拉的贡献不可忽视。他的欧拉公式使得傅里叶理论中出现了负数频率，同时使简谐函数和傅里叶公式更加对称。
接下来，让我们探讨一下非周期函数是否具有频率。根据傅里叶算法，当周期信号的周期变大时，其频谱如何变化。从图中可以看出，周期为T的信号的频谱包含一系列离散的谱线，谱线之间的间隔为1/T。当周期T变得很大时，频谱线的间隔1/T变得非常小，甚至粘合在一起。非周期信号可以看作是周期无限大的信号，因此具有连续的频谱。这个连续频谱的范围延伸至无穷，无法用图形表示。换句话说，非周期函数的频谱是无限宽的，而实际通信系统无法传输频谱无限宽的信号。
后来的研究发现，在非周期信号的无限宽频谱中，高频部分衰减得很快。因此，只要保留频谱的主要部分并截断高频部分，通信系统就能够忽略引起的失真。根据工程需求，通常会将频谱截断为特定的宽度，例如B1、B2、B3或B4。不同的截断宽度满足不同质量的通信系统需求，从难以察觉的失真到高保真效果。然而，保留更宽的频谱会降低频带利用率、系统容量，并增加成本。因此，需要权衡考虑。
总结一下，非周期信号具有连续且无限宽的频谱。通过人为截断频谱，非周期信号将具有一个最高频率，频率连续地分布在零赫兹和最高频率之间。
傅立叶的理论表明，任何一个周期性的函数都可以表示为多个不同频率的正弦和余弦函数之和。这被称为傅立叶级数展开。通过使用不同频率的正弦和余弦函数，我们可以逼近非周期性信号的特征，并分析出其中的高音和低音成分。
因此，尽管非周期性振动没有固定的频率，我们可以利用傅立叶级数展开的方法，将其分解成多个不同频率的正弦和余弦函数，从而感知其中的高音和低音。
总结来说，频率是描述周期性振动的特性，但通过傅立叶级数展开，我们可以将非周期性信号分解为不同频率的成分，使我们能够感知出其中的高音和低音。这为理解和分析各种信号提供了重要的数学工具和见解。
频率的严格定义应该包含以下三个要点：
简谐信号具有单一频率，其频率等于周期的倒数。
一般周期信号具有由无限多个离散频率组成的频谱，其中最低的频率被定义为该周期信号的频率。
非周期信号具有连续的无限范围的频谱，其频谱宽度的定义是根据工程需求人为截取的。非周期信号的频率在零赫兹与最高频率之间连续分布，这种分布只是满足工程需求的近似。
我们知道，当多种频率的音乐混合在一起时，会产生更高频率和更低频率的音乐，从而扩大了音乐的频率范围。这可以通过回忆中学时学到的三角函数知识来理解：两个三角函数相乘会产生更高频率和更低频率的三角函数。
采样定理是模拟通信向数字通信迈进的桥梁和基石。细心的读者可能会注意到，由于采样频率至少要高于被采样信号频率的2倍，因此传输采样后的数字信号会增加对频带宽度的需求。然而，香农在上世纪40年代是通信数字理论的奠基人。他的许多研究成果中最著名的是香农公式。该公式表明，通过使用适当的编码方法，尽管增加了信号的频带宽度，却可以降低传输该信号所需的功率，从而带来模拟通信系统无法达到的好处。然而，香农公式也指出，编码带来的好处是有限的，即香农限。现有的编码技术已经非常接近香农限，因此无论是5G系统还是其他新的通信系统，如果没有在基础理论方面有突破，将很难通过编码技术大幅度改进性能。
尽管上世纪40年代的理论研究已经证明了数字通信的优越性，但为什么直到90年代才有数字通信系统投入应用呢？这是由于硬件技术的发展滞后所致。如果没有高速采样芯片、编码译码芯片、调制解调芯片以及射频芯片，数字通信就无法实现。这就像没有计算机，二进制算法的优势将毫无意义一样。
关于频率的理论和应用至今仍是一个活跃的研究领域。频率不仅在通信领域非常重要，而且在所有自然科学领域都扮演着至关重要的角色，比如多普勒效应。
我们都知道，位置、时间和速度是基本物理量。通过这篇文章，读者对于另一个基本量——频率有了更深入的理解。而首先将速度与频率联系起来的是奥地利科学家多普勒。
1842年，奥地利科学家多普勒发表了一篇关于双星颜色变化的研究论文，在其中他推导出当星星和观察者之间有相对运动时，观察者接收到的星光的波长会发生变化。这被称为多普勒效应。图示如下：
在图中，一个点源辐射的波（图中的a）在其运动方向上被压缩，而在其运动的相反方向上被拉伸（图中的b）。只有与运动方向垂直的波长才不受影响。物体运动速度越快，多普勒效应就越明显。由于频率与波长成反比，所以波长被压缩得越严重，频率就越高，反之亦然。因此，频率的偏移与物体运动速度成正比。
后来，人们通过声波来验证了多普勒效应。例如，让乐手在火车上演奏音乐，同时在月台上记录火车接近和离开时听到的音乐音调的变化。这类似于我们在月台上听到列车飞驰而来或呼啸而过时声音的变化。
我们可以用一个形象的例子来理解多普勒效应：假设一只甲虫掉入平静的水面，激起水波向四面八方传播。但如果这只甲虫在掉入水中后朝一个方向游动，水波就会在它的运动方向上被压缩，而在相反方向上被拉伸。甲虫游得越快，水波的压缩和拉伸就越明显。水波的波长压缩就是频率增加，反之则是频率降低。因此，通过测量水波的频率变化，我们可以知道甲虫的游速。
那么，如何测量频率呢？我们首先来看两个简谐信号相乘的情况。当两个信号在相同瞬时的值相乘时，产生的信号既包含两个信号频率相加的成分，又包含两个信号频率相减的成分。通过使用低通滤波器滤除两个信号频率相加的成分（即高频成分），我们可以保留下两个信号频率相减的成分（即低频成分）。如果我们将一个已知频率的信号与一个未知频率的信号相乘，然后通过滤除高频成分并测量低频成分的数值，我们就可以计算出未知频率信号的频率。通常，这可以通过使用锁相环（phase-locked loop）器件来实现。锁相环利用负反馈原理，使得压控振荡器（VCO）的输出频率与输入信号频率保持锁定。
通过测量频率，我们可以测量运动物体产生的频率偏移，并利用多普勒效应获得运动物体的速度。多普勒效应至今在速度测量（如交通警察用于监测车速）、医学诊断、雷达探测、射电天文学和天体物理学等领域广泛应用。
